REVIEW: FUNDAMENTALS OF DISLOCATION DYNAMICS SIMULATION (part 2 : What is the basic ingredients necessary to conduct a DD simulation? )

Problem Formulation

 

일단 우리는 dislocation line을 관찰하고 싶어한다. 

 

dislocation line의 위치를 r(s,t)라고 표현할 수 있다.

 

(t는 시간, s는 위치를 나타내는 scalar paramater)

 

dislocation의 움직임을 보기 위해서 위치를 시간에 대해 미분하면 속도를 확인 할 수 있다. 

 

 $v = \frac{\partial r(s,t)}{\partial t}$ 

 

하지만 하나의 r(s,t)로 dislocation line을 표현하기에는 굉장히 복잡한 계산이 필요하기 때문에, discretize 한다

즉, Fig 1 처럼, 하나의 곡선을 여러개의 직선으로 나눠 표현한다.  

 

Fig 1. Position of a pair of dislocation loops at time t. (a) Continuous representation described by position vector r as a function of parameter s. (b) Discrete representation using node-based discretization described by position vectors of nodes r_{i} [1]

 

 

dislocation line에 가해지는 force는 두가지로 나눌 수 있다. 

 

하나는 dislocation의 움직임(motion)을 방해하는 힘인 drag force, 다른 하나는 dislocation motion을 야기하는 driving force 이다. 

 

(dislocation line들이 effective mass가 있다고 생각해서 inertial term도 있지만 무시가능함. 이에 대해선 추후 포스팅에 자세히 다뤄 보겠음.)

 

*참고

Additionally, dislocation lines are known to have effective masses, giving rise to inertial forces. In many crystalline materials under a broad range of conditions, however, drag forces intrinsic to the crystal lattice are orders of magnitude larger than the inertial forces, making dislocation motion overdamped.[2]

 

결국 말하고 싶은 건, 지금 condition 에서는 다음과 같은 force balance  식을 세울 수 있고,

 

$ \sum F_{drag}(v,s) + \sum F_{drive}(v,s) = 0 $

[수식 1]

 

이 식은 다음 과 같이 나타 날 수 있다는 것 이다. 

 

$ v = M(F_{drive}^{tot}) $

[수식 2]

 

$ while, F_{drive}^{tot}[r(s),\sigma _{ext}, ...] = \sum F_{drive} $

 

 

*참고: [수식1]을 [수식2]로 나타낼 수 있는 이유.

 

overdamped 상황에서는 운동 방정식을 [수식1]처럼 나타 낼 수 있다. 

 

정리하면,  

 

$ \sum F_{drag}(v,s) = -\sum F_{drive}(v,s)  $

 

현재 모델링에서  $F_{drag}(v,s) \propto v$ 이므로 (진짜? 왜?), 

 

$ v = M(F_{drive}^{tot}) $ 로 나타 낼 수 있다. 

 

 

그래서, 지금 까지 한게 뭘 하려고 한거야??  라고 질문 할 수 있다.

 

다음 flow chart를 보면 실제로 DD simulation이 구동되는 순서를 확인하면서 이해할 수 있을 것이다. 

 

Fig 2. Flowchart showing the basic steps for a dislocation dynamics code. Note that the force and velocity of each degree of freedom (DOF) may be computed multiple times per time step depending on the time integration scheme used [1]

 

결론적으로 우리가 하고 싶은 것은, 

 

Force를 통해 dislocation line의 velocity를 구하고, time integration을 통해 dislocation의 위치 변화를 아는 것이다. 이를 통헤서 궁극적으로, plastic strain을 알아낸다. 

 

지금까지 DD simulaiton에 필요한 요소들, flow chart를 알아보았고 다음 포스팅에서는 각 요소들에 대한 좀 더 디테일한 내용을 추가하여 써보려고 한다. 

 

 

 

 

Reference

[1]  Sills, R. B., Kuykendall, W. P., Aghaei, A., & Cai, W. (2020). Chapter 2: Fundamentals of dislocation dynamics simulations. In Dislocation Dynamics Handbook (pp. 35–65). Springer.

[2] L. Kubin, Dislocations, Mesoscale Simulations and Plastic Flow. (Oxford University Press, Oxford, 2013)

 

공부, 기록에 초점을 둔 글입니다. 

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