시험 공부를 할 때 peach - koehler 공식 유도 방법이 이해가 잘 안되서 구글링하고 찾아봤지만, 한국어로는 친절히 설명된 글을 잘 보지 못해서 답답했던 기억이 있다. 이번 포스팅에서는 최대한 자세히 친절히 설명하려 노력해보겠다.
일단,
Q. Peach - Koehler equation이 무엇인가?
A. 외부 stress로 인하여, Dislocation line에 가해지는 힘을 구하기 위한 식!!!!!
결론적으로는 식은 다음과 같다.
$ F= (b\cdot \sigma )\times \widehat{\xi} $
그래서 이 식이 어떻게 나왔냐...?
일반적인 식을 구하기 전에, 간단한 상황을 설정해서 감을 좀 잡아보자.
1. Glide force on edge dislocation
간단한 예시이다.
일정한 외부에서 가해준 힘 dF가 $d\xi d\lambda$ 의 면적에 가해진 상황이다.
$d\xi$는 dislocation line의 미소 길이,
$d\lambda$는 dislocation이 이동한 거리를 뜻한다.
필자는 $d\lambda $가 애매하다 생각해서 고민을 많이 했었는데(dislocation line의 미소길이는 인정.. unit vector라 생각하면 되니까... 근데 웬 이동한 거리? 언제까지 이동한 거리라는 거지? 기준이 없잖아...?), 그냥 dislocation line의 미소길이와 이동한 거리를 곱한 면적에 해당하는 힘을 dF라고 정의한것이라 생각하면 될 것 같다. 다시 말하자면, 우리가 어떤 부분을 관찰했을 때 burgers vector, b만큼 이동했다고 한다면, 그 어떤 부분을 b만큼 움직이게 만든 dislocation의 움직임을 $d\lambda$라고 생각하면 될 것 같다. (혼자서 좀 고민해 보면서 깨달아야 할 부분인 것 같다.)
정리하면,
$dF = \tau d\xi d\lambda$
이 외부에서 가해준 힘이 한 일($dW_{\tau }$)을 구해보면,
$dW_{\tau } = b dF = b \tau d\xi d\lambda$
b(burgers vector)만큼 곱한 이유는, 실제로 그만큼 이동하기 때문이다.
Dislocation이 어떻게 움직이는 지 상상해보면 된다!
Work를 다른 방식으로 표현 해보자,
이번에는 dislocation line에 가해지는 힘($f_{g}$ ; line 길이 당 glide force)를 사용해서 표현해보자.
미소길이에 해당하는 force는 $ f_{g} d\xi $ 라 할 수 있고,
dislocation이 $ d\lambda $ 만큼 이동 했으므로,
$dW_{\perp }= f_{g} d\xi d\lambda$
그러니까, 지금 두가지 관점으로 W를 구한건데,
1. External force인 $ \tau $ 가 윗 부분을 b 만큼 움직임.
2. Glide force가 dislocation line을 $d\lambda$ 만큼 움직임.
두 관점이 사실 같은 상황을 말하는 거기 때문에 해당 work 가 같다는 것을 알 수 있다.
따라서, 식을 정리하면,
$ dW_{\tau } = dW_{\perp } $
$ b \tau d\xi d\lambda = f_{g} d\xi d\lambda$
$ f_{g} = \tau b$
2. Climb force on edge dislocation
glide force on edge disloation 상황과 동일하게,
$dF = \sigma d\xi d\lambda$
$dW_{\sigma } = b dF = b \sigma d\xi d\lambda$
$dW_{\perp }= f_{c} d\xi d\lambda$
$ dW_{\sigma } = dW_{\perp } $
$ f_{c} = \sigma b$
3. Generalization of Peach - Koehler equation
이제 일반화 된 식을 구할 차례이다.
사실 지금까지 glide, climb 경우에서 유도를 했을 때에는 내적이니, 벡터니, 텐서니 하는 것들을 크게 신경쓰지 않아도 괜찮았다. (신경 안쓰고 그냥 스칼라 값을 곱해준다 생각해도 계산이 맞으니까...)
지금부터는 조금 더 집중해서 각 연산들이 어떠한 의미를 가지는 지 확인 해야한다... 벡터, 텐서 표시도 제대로 하고....(텐서 표시를 bold 채로 하려 했는데 하지 표현이 안된다.. 이후에 sigma 기호는 텐서라고 생각하고 보시길..)
먼저 dislocation motion의 관점으로 work를 구해보자
미소 길이의 dislocation line에 가해지는 힘은, $f|d\xi| $ 가 될 것이고, $d\lambda$ 만큼 이동했으니 서로 내적 해주면 한 일이 나온다.
$dW_{\perp} = (\overrightarrow{f} |\overrightarrow{d\xi|}) \cdot \overrightarrow{d\lambda}$
이제 external force의 관점으로 work를 구해보자
이제부터 엄밀하게 $\overrightarrow{dF}$를 구하기 위해서는 traction vector에 대한 개념을 알고 있어야한다.
후에 더 자세하게 포스팅 하겠지만, 간단히 소개하자면,
traction vector 란, 단위 면적 당 작용하는 힘을 말한다.
아니 그럼 stress랑 다른 게 뭔데?
기본적으로 traction은 vector quantity고 일반적으로 우리가 말하는 stress는 tensor quantity이다. traction vector는 stress의 특정 부분만 알려주는 값이라 생각하고(traction vector를 stress vector라고도 부른다고 한다), 여기에서는
한 면에서의 응력(stress) 라고 생각하자. (자세한건, 다음 포스팅에서...)
결국 우리가 구하고 싶은 $\overrightarrow{dF}$는 traction vector인 $\overrightarrow{T}$와 미소면적 dA(스칼라값)의 곱으로 나타난다.
$\overrightarrow{dF} = \overrightarrow{T} dA$
$\overrightarrow{T} = \mathbf{\sigma} \cdot \widehat{n}$
($\widehat{n}$은 면의 법선 벡터)
$\overrightarrow{dF} = (\mathbf{\sigma} \cdot \widehat{n}) dA$
$dA = |\overrightarrow{d\xi} \times \overrightarrow{d\lambda}|$
$\widehat{n} = \frac{\overrightarrow{d\xi} \times \overrightarrow{d\lambda}}{|\overrightarrow{d\xi} \times \overrightarrow{d\lambda}|}$
따라서,
$\overrightarrow{dF} = \mathbf{\sigma} \cdot (\overrightarrow{d\xi} \times \overrightarrow{d\lambda} )$
결국 burgers vector, $\overrightarrow{b}$ 만큼 이동하게 될 것 이고 , 따라서 $ \overrightarrow{dF} $와 $ \overrightarrow{b} $를 내적 하면 external force가 한 일이 된다.
$dW_{\sigma} = \mathbf{\sigma} \cdot (\overrightarrow{d\xi} \times \overrightarrow{d\lambda} ) \cdot \overrightarrow{b} $
$dW_{\perp} = dW_{\sigma}$
이므로, 정리하면
$ (\overrightarrow{f} |\overrightarrow{d\xi|}) \cdot \overrightarrow{d\lambda} = \mathbf{\sigma} \cdot (\overrightarrow{d\xi} \times \overrightarrow{d\lambda} ) \cdot \overrightarrow{b} $
$\mathbf{\sigma}$는 symmetric tensor 이므로,
$(\overrightarrow{f} |\overrightarrow{d\xi|}) \cdot \overrightarrow{d\lambda} = \mathbf{\sigma} \cdot \overrightarrow{b} (\overrightarrow{d\xi}) \times \overrightarrow{d\lambda}$
$(\overrightarrow{f} |\overrightarrow{d\xi|}) \cdot \overrightarrow{d\lambda} = (\mathbf{\sigma} \cdot \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{d\xi}) \overrightarrow{d\lambda}$
($(\overrightarrow{x} \cdot (\overrightarrow{y} \times \overrightarrow{z}) = (\overrightarrow{x} \times \overrightarrow{y}) \cdot \overrightarrow{z}) )$ 이므로....)
$d\lambda$는 arbitrary하기 때문에
$\overrightarrow{f} |\overrightarrow{d\xi}| = \mathbf{\sigma} \cdot \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{d\xi}$
따라서 결국!!!
$\overrightarrow{f} = \mathbf{\sigma} \cdot \overrightarrow{b} \times \widehat{\xi}$
식이 유도가 되었다.
여기까지 유도를 완료해봤는데, 쓰고 보니 내가 찾아봤던 설명들이랑 차이가 없는 거 같기도 하고..
결국은 자기가 고민 해봐야 한다
[1] Cai, W., & Nix, W. D. (2016). Imperfections in crystalline solids. Cambridge University Press.
공부, 기록에 초점을 둔 글입니다.
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